Arkhimedes Syrakusalainen (noin 287–212 eaa.) on yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista. Hänen nimensä liitetään yleensä sellaisiin klassikoihin kuin Pythagoras (noin 570–495 eaa.) ja Eukleides (noin 325–260 eaa.). Arkhimedeen teoksista äskettäin julkaistu suomennoskokoelma Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia on merkittävä, sillä se tuo hänen keskeisen tuotantonsa ensimmäistä kertaa suomen kielelle.

Teokseen valitut tekstit ovat kauttaaltaan kiinnostavia, mutta lukemista voi haitata se, että työ nojaa monelle nykylukijalle tutun analyyttisen geometrian sijaan hellenistisellä kaudella (330–30 eaa.) käytössä olleeseen synteettiseen geometriaan, jota kutsutaan myös puhtaaksi geometriaksi. Synteettiselle geometrialle on ominaista se, ettei siinä käytetä analyysiin kuuluvia algebrallisia välineitä, vaan tukeudutaan ainoastaan geometrian lauseisiin, aksioomiin ja konstruktioihin. Hyvän esimerkin tästä järjestelmästä tarjoaa Eukleideen Alkeet, mutta toisin kuin Eukleideen työ, Arkhimedeen teokset ovat matemaattisia tutkimuksia par excellence.

Toisen ongelman lukijalle voi muodostaa se, että tutkimuksen kieliasu on paikoin huomattavan niukka ja vähäeleinen. Eukleideen geometrian perusteiden tuntemus olisi tässä avuksi. Helleenisellä ajalla numerot merkittiin kreikkalaisin aakkosin (α=1, β=2, γ=3 ja niin edelleen). Järjestelmän kantaluku oli kymmenen, mutta käytössä ei ollut lukujen paikkajärjestelmää tai nollaa. Lisäksi ongelmien hahmottamista saattaa vaikeuttaa se, että Arkhimedes etenee ratkaisuissaan induktiivisesti olettamuksia kasaamalla. Tämä voi tehdä hänen päättelytavastaan nykylukijalle paikoin vaikeaselkoisen ja kömpelön.

Yleisesti ottaen tutkimuksesta voi sanoa, että Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia sisältää merkittävän osan Arkhimedeen matemaattisista keksinnöistä mutta ei juuri huomioita hänen tutkimustensa käytännön sovelluksista. Matemaatikko Johan Stén on kirjoittanut teokseen laajahkon johdannon, jonka mukaan Arkhimedes tuli aikalaisten keskuudessa tunnetuksi nerokkaista teknologisista innovaatioistaan. Hänen väitetään keksineen joukon nosto- ja vetolaitteita, vipuvarsia ja taljoja. Arkhimedeen säilyneissä kirjoituksissa ei näistä ole kuitenkaan viitteitä, eikä nyt julkaistu työ valaise niitä kovin tarkasti.

Arkhimedeen tutkimuksia tunnetaan tällä hetkellä kaiken kaikkiaan viisitoista, kun mukaan luetaan myös kaikki osin tuhoutuneet teokset. Nämä tutkielmat voidaan jakaa hieman summittaisesti kolmeen pääryhmään sillä perusteella, koskeeko niiden sisältö  geometristen tasokuvioiden tai kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden laskemista, mekaanisen tai hydrostaattisen menetelmän soveltamista vai muita matemaattisia ongelmia. Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia on siinä mielessä tasapainoinen, että tekijät ovat valinneet teokseen tekstejä kaikista kolmesta ryhmästä.

Kokoelman avaava Hiekanlaskija käsittelee taivaankappaleiden kokoja ja etäisyyksiä, mutta sen temaattiset lähtökohdat ovat lukuteoreettiset. Arkhimedes kehittelee tekstissään lukujärjestelmää äärettömän suurien lukujen kuvaamiseksi. Tehtävää vaikeuttaa se, ettei kreikkalaisessa järjestelmässä ollut hänen aikanaan nollaa tai kymmenenpotensseja. Ongelman ratkaisussa hän joutuu käyttämään ajalleen ominaisia käsitteitä sata (hekaton), tuhat (khilioi) ja kymmenen tuhatta (murioi). Viimeksi mainittuja voitiin kertoa aina 99 999 999=108–1 asti, mutta järjestelmä oli laskennallisesti monimutkainen ja epäkäytännöllinen.

Selvitäkseen tehtävästä – hiekanjyvien määrän laskemisesta koko kosmoksen osalta – Arkhimedes määrittelee ensin laskelman perustaksi stadionmitan (600 jalkaa) ja laskee tämän jälkeen maapallon ympärysmitaksi 300 × 10 000 stadionmittaa ja olettaa lisäksi auringon läpimitan olevan 30 kertaa kuun läpimitta. Lopuksi hän päättelee näistä ja muista alkuehdoista kosmoksen halkaisijaksi 1014 stadionia ja hiekanjyvien lukumääräksi 1021×(1014)3=1063 kappaletta. Näiden yksityiskohtien hahmottaminen voi olla paikoin työlästä, mutta asiaa helpottaa se, että kääntäjät ovat selventäneet monia hämäräksi jääviä kohtia loppuviitteissä nykymatematiikan avulla.

Toisena julkaistu Ympyrän mittaaminen vie ajatukset lähemmäksi luonnonmekaniikkaa ja avautunee helposti ainakin niille, jotka ovat perehtyneet jollain tavalla mekaniikan historiaan. Teksti on ensimmäinen latinaksi käännetty Arkhimedeen tutkimus ja samalla ensimmäinen, jolle hänen maineensa Euroopassa laajasti rakentui. Tutkimus osoittaa, että r-säteisen ympyrän ala A on yhtä suuri kuin sellaisen kolmion ala K, jonka korkeus on r ja jonka kanta P on sama kuin ympyrän kehän pituus. Arkhimedeella oli taitoa rinnastaa ympyrän ja kolmion pinta-alat toisiinsa geometrisesti tyydyttävällä tavalla.

Nämä ovat hyviä esimerkkejä sekä klassisen Kreikan matematiikan kehityksestä että Arkhimedeen synteettisestä päättelytavasta. Arkhimedeen varsinainen laajempi maine perustuu kuitenkin kokoelmassa kolmantena julkaistuun tekstiin Kelluvat kappaleet I–II. Tutkimus esittelee hänen kuuluisan hydrostaattisen periaatteensa ja sen käytännön sovellukset. Paikoin hieman hämäräksi jäävä teksti tarkastelee nesteen sisäistä painetta ja todistaa Arkhimedeen periaatteen, jonka mukaan kappaleeseen kohdistuva nostovoima on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän nesteen paino. Nostovoima keventää kappaletta nesteessä ja määrää sen, kuinka suuri osa kelluvasta kappaleesta jää nestepinnan alapuolelle (hydrostaattinen tasapainotila).

Kokoelman päättää runomittaan laadittu Helioksen karjan lukumäärä. Tämä huomattavan suuria lukuarvoja käsittelevä ongelma tarjoaa hyvän esimerkin Arkhimedeen kyvyistä ratkaista joukko-opillisia ongelmia. Tutkimusongelmana on päätellä auringonjumala Helioksen häristä ja lehmistä koostuvan karjalauman koko, kun lauma jakautuu valkoisiin, mustiin, kirjaviin ja kellertäviin sekä härkien (V, M, K, R) että lehmien (v, m, k, r) osalta. Koska riippumattomia yhtälöitä on seitsemän ja tuntemattomien tekijöiden lukumäärä on kahdeksan, mahdollisia oikeita ratkaisuja on enemmän kuin yksi.

Neljä nyt julkaistua tutkimusta muodostavat periaatteessa hyvän kokonaisuuden, mutta muutama Arkhimedeen keskeinen työ jää kokoelmasta puuttumaan. Monissa ulkomaisissa kokoelmissa on yleensä julkaistu lisäksi ainakin tutkimukset Tasokuvioiden tasapaino I–II, Paraabelin neliöiminen sekä Pallo ja sylinteri I–II. Nämä olisivat laajentaneet käsitystä Arkhimedeen matemaattisista taidoista. Teokset löytyvät muun muassa englantilaisen matemaatikon ja klassisen matematiikan tutkijan Thomas L. Heathin (1861–1940) toimittamasta yhä käyttökelpoisesta teoksesta The Works of Archimedes (1897/2003).

Suurimpana heikkoutena voi kuitenkin pitää Paraabelin neliöimisen puuttumista kokonaisuudesta. Näin on siksi, että tekijä käsittelee siinä muun muassa yhä pienempiin osiin jakautuvaa päättymätöntä sarjaa ja enteilee näin differentiaali- ja integraalilaskentaa.

Julkaistua suomennosta ei ole kuitenkaan syytä vähätellä. Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia on kaiken kaikkiaan tervetullut työ, sillä se tuo Arkhimedeen tutkimukset laajempaan tietoisuuteen ja auttaa ymmärtämään monia matematiikan ja mekaniikan historian alkuvaiheen ongelmia. Arkhimedes pohtii tutkimuksissaan monenlaisia fysiikan, tähtitieteen ja matematiikan kysymyksiä.

Pienistä puutteistaan huolimatta nyt julkaistu teos on hyvä alku Arkhimedeen tutkimusten käännöstyölle. Teos on käännöksen kielen osalta pääosin laadukas, minkä lisäksi monia historiallisesti vaikeita asioita on taustoitettu ja selvennetty johdannossa, alaviitteissä ja työn lopusta löytyvässä sanastossa. Teoksen lukeminen ei vaadi näin ajatellen kovin suuria taustatietoja antiikin ajan matematiikasta.

Arkhimedeen ajattelun tuntemus kuuluu yleissivistykseen, ja tästä syystä nyt julkaistun tutkimuksen toivoisi kiinnostavan lukijoita mahdollisimman laajasti.

• 

Lue myös: 

Blaise Pascalin monipuolinen perintö

Ihmisen kosmos tuo avaruuden lähelle ihmistä

Matematiikan kauneus sykähdyttää mutta avautuu vain harvoille