Kukapa ei olisi lapsena kokenut huimausta, kun on ensimmäistä kertaa tajunnut avaruuden (tai ajan) äärettömyyden? Äärettömyyden radikaali kokeminen aikuisella iällä sen sijaan lienee psykologisesti harvinaista. Tämä on oikeastaan mielenkiintoinen ilmiö: Mikä muutos ihmisen psyykessä oikein tapahtuu, kun vähitellen aikuistuessamme totumme katselemaan vaikkapa tähtitaivasta erityistä kammoa tuntematta, vaikka aikuisina entistä paremmin tiedämme, kuinka pieniä tähtisumuihin verrattuina olemme?

Avoimen paikan kammo, agorafobia, on läheistä sukua harvinaisemmalle syndroomalle, äärettömyyden kammolle, jolla ei taida olla omaa tieteellistä nimeä psykiatrisessa kirjallisuudessa. Äärettömyyden radikaali kokeminen on luullakseni kuitenkin se tajuntamme syvä pohjavirta, josta mystikot, filosofit ja uskonnonperustajat ovat ammentaneet. Varmaankin juuri äärettömyyden kokemuksella on eri kulttuureissa nimenä maailmansieluun sulautuminen, valaistuminen, satori jne. Länsimaisen kirjallisuuden klassinen äärettömyyskokemus on Blaise Pascalin Mietteissä (suom. Martti Anhava):

"Minä näen nuo maailmankaikkeuden kammottavat avaruudet, jotka sulkevat minut sisäänsä, ja havaitsen olevani kiinnitettynä yhteen tämän valtaisan ulottuvuuden kolkkaan, tietämättä miksi minut on sijoitettu mieluummin näille tienoin kuin jonnekin muualle, tai miksi se vähäinen aika, joka minulle on suotu elettäväksi, osoitetaan minulle mieluummin tähän kuin johonkin toiseen pisteeseen koko siinä iankaikkisuudessa, joka on edeltänyt minua tai siinä joka tulee jälkeeni."
 

Äärettömät äärettömän käsitteet

Ajatus äärettömyydestä kenties piilee ihmismielen pohjalla lukitussa lippaassa, jonka päällä lukee: "Varoitus! Näiden asioiden ajatteleminen voi vaarantaa mielenterveytesi." Tämä ei ole vitsi. Nykyaikaisen äärettömyyttä koskevan matematiikan molemmat suuret perustajahahmot Georg Cantor (1845–1918) ja Kurt Gödel (1906–78) menettivät mielenterveytensä. Molemmat sairastuivat paranoiaan ja
kuolivat siinä uskossa, että kollegat muka suunnittelivat heidän murhaamistaan. Olisi kuitenkin liian yksioikoista väittää, että heidän sairastumisensa oli suoraa seurausta heidän matemaattisista tutkimuksistaan. Kenties päinvastoin heidän tekemiinsä matemaattisiin keksintöihin tarvittiin jo valmiiksi hyvin poikkeuksellinen mieli.

Pitäisikö edellä sanotun kaltainen varoitus kiinnittää myös Ruckerin teoksen Mieli ja äärettömyys kanteen? Kirjan kannessa itse asiassa onkin kuvattuna ukkeli, joka näyttää olevan "täydessä pilvessä", cumulus-pilvet nimittäin liitelevät hänen pääkopassaan! Suomentaja Markus Hotakaisen tämä teos on epäilemättä saattanut hermoromahduksen partaalle, sillä logiikan kaavat monimutkaisine merkkijonoineen ovat kääntäjälle tuskallista työtä. Hotakainen on kuitenkin selviytynyt tiedekirjakääntäjän diplomityöstään varsin hyvin. Kieli on sujuvaa ja painovirheitä on vähemmän kuin Art Housen tiedekirjoissa keskimäärin.

Suurin osa peruskoulun ja lukion käyneistä suomalaisista luulee joukko-oppia matematiikan triviaaleimmaksi osa-alueeksi ja elää siinä uskossa, että on vain yksi äärettömyys, ja sillä siisti. Todellisuudessa erilaisia äärettömyyden käsitteitä on kuitenkin olemassa ääretön määrä, ja jopa äärettömän monella tavalla ääretön määrä. Ruckerin teoksessa esitellään mm. transfiniittiset ordinaalit ja kardinaalit; surreaaliset ja hyperreaaliset luvut; saavuttamattomat, hypersaavuttamattomat ja superhypersaavuttamattomat kardinaaliluvut eli Mahlo-kardinaaliluvut; kuvailemattomat kardinaaliluvut, jakokardinaaliluvut, Ramsey-kardinaaliluvut, mitalliset kardinaaliluvut, vahvasti kompaktit ja superkompaktit kardinaaliluvut sekä laajennettavat kardinaaliluvut. Lukijan valtaa vähitellen eksistentiaalinen huimaus, vertigo. Laajoine lähdeviitteineen tässä on kirja, johon voisi uppoutua koko elämän ajaksi.

Kurt Gödel antaa Ruckerin kirjassa käytännön ohjeet, miten äärettömyyttä on tutkittava: "i) Ensin on suljettava muut aistit esimerkiksi makaamalla hiljaisessa paikassa. Tällaisen negatiivisen toiminnan toteuttaminen ei kuitenkaan riitä, vaan samalla on etsittävä aktiivisesti mielensä avulla. ii) On virhe antaa jokapäiväisen todellisuuden asettaa ehtoja mahdollisuudelle ja kuvitella vain fysikaalisten objektien yhdistymisiä ja permutaatioita; mieli kykenee havaitsemaan suoraan äärettömiä joukkoja. iii) Tällaisen ajattelun ja koko filosofian lopullinen päämäärä on Absoluuttisen ymmärtäminen."
 

Lisää tutkijoiden värikkäitä oppiriitoja!

Suomen kielellä ei ole aikaisemmin ollut saatavissa yleistajuista esitystä erilaisista matemaattisen äärettömyyden käsitteistä. On tajuntaa laajentavaa, että Rudy Ruckerin mainio kirja on nyt suomennettu! Tosin on muistettava myös Uuno Saarnion vanha kunnon Mitä tiedämme äärettömästä? (WSOY 1969), jonka avattuaan moni aloittelija tosin on päättänyt luopua matematiikasta. Saarnio oli eksentrikko ja kuului siinäkin suhteessa äärettömyyden tutkijoiden pitkään perinteeseen. Hänen teoksensa ei ole täysin luotettava. Saarnio mm. uskoi todistaneensa kuuluisan kontinuumihypoteesin, vaikka nykyisin tiedämme, että se on loogisesti riippumaton nykymatematiikan perustana olevasta Zermelon-Fraenkelin aksioomajärjestelmästä. Tämän todisti Paul Cohen vuonna 1963, mutta Saarnio ei koskaan hyväksynyt hänen tulostaan.

Äärettömyyden tutkimuksen värikkääseen historiaan kuuluvat myös tutkijoiden katkerat oppiriidat. Kuuluisa on Georg Cantorin ja Leopold Kroneckerin yhteenotto transfiniittisista luvuista, joiden julkaisemisenkin Kronecker yritti estää. Kroneckerin mielestä hänen entinen oppilaansa Cantor oli "tieteellinen silmänkääntäjä", "rappio-olento" ja "nuorison turmelija". Kronecker itse oli realisti, jonka mielestä transfiniittisiä lukuja ei ole olemassakaan, vaan ainoastaan "kokonaisluvut on hyvä Jumala tehnyt, kaikki muu on ihmistyötä". David Hilbert puolestaan ylisti Cantoria ja hänen avaamaansa "paratiisia, josta kukaan ei enää voi meitä karkoittaa". Cantor itse taas vastusti kiivaasti äärettömän pienten lukujen teoriaa, tuota katalaa yritystä "tartuttaa matematiikka infinitesimaalien kolera-basillilla", jonka toteutti vasta 1960-luvulla Abraham Robinson.

Sitten Uuno Saarnion päivien Suomessa ei ole käyty kunnon oppiriitoja platonismia ja formalismia kannattavien matemaatikoiden kesken. Vuosi 2000 on monilla aloilla koettu sopivaksi hetkeksi luoda katsaus menneeseen ja nostaa esiin kunkin tieteenalan iäisyyskysymykset. Kansainvälistä Matematiikan Vuotta 2000 piristäisi kummasti, jos lehtien palstat taas täyttyisivät vaikkapa transfiniittisten lukujen olemassaolosta riitaantuneiden matemaatikoiden kiistakirjoituksista!

Kirjoittaja on Jyväskylän ja Helsingin yliopiston matematiikan dosentti.